Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arrenberg@th-koeln.de Übungen zu QM II Finanzmathematik) Gemischte Verzinsung Aufgabe 5.1 Ein Anleger zahlt am 30.09.20 bei seiner Bank GE 20 000 zu 1,2% jährlichen Zinseszinsen ein. Am 11.01.2015 hebt er das Guthaben samt Zinsen ab. Welchen Betrag erhält er bei a) relativ gemischter Verzinsung? Lösung: K 2,2805 = 20 551,84) b) bankmäßiger gemischter Verzinsung? Lösung: K 2,2805 = 20 551,86 oder Taggenau 20 552,09) Aufgabe 5.2 Ein Kapital in Höhe von 10 000 e wird fünfzehn Jahre und drei Monate zu nominell 1,2% p.a. verzinst. Welches Endkapital ergibt sich a) bei nachschüssiger Verzinsung? Lösung: 11 959,35 e) b) bei monatlicher Verzinsung zum relativen Zinsfuß? Lösung: 007,05 e) c) bei täglicher Verzinsung zum relativen Zinsfuß? Lösung: 008,11 e) d) bei stetiger kontinuierlicher) Verzinsung? Lösung: 008,14 e) e) bei konformer Verzinsung? Lösung: 11 995,07 e) Aufgabe 5.3 Statt der Rückzahlung einer Schuld von 100 000 e am 31.10.20 werden bei relativ gemischter Verzinsung mit 5,8% Jahreszinsen folgende Rückzahlungen vereinbart: 60 000 e am 31.03.2013 zwei gleich große Rückzahlungen am 31.10.2014 und am 31..2014 Wie hoch sind die Zahlungen am 31.10.2014 und am 31..2014, wenn als Bewertungsstichtag der a) 31..2014 Lösung: 23 276,03 e) b) 31.03.2013 Lösung: 23 305,53 e) c) 31.10.20 Lösung: 23 291,16) festgesetzt wird? Aufgabe 5.4 Ein Kapital hat sich bei stetiger Verzinsung nach einer Laufzeit von sieben Jahren, zwei Monaten und zwölf Tagen verdoppelt. Wie hoch war der nominelle Jahreszins? 1
Lösung zu Aufgabe 5.1 a) 3 Monate + 11 Tage = 101 Tage γ = 101 = 0,2805 Jahre 360 K 2,2805 = 20 000 1,0 2 1 + 0,2805 0,0 ) = 20 551,84 d.h. das Guthaben beträgt 20 551,84 GE. b) K 2,2805 = 20 000 1 + 3 ) 0,0 1,0 2 1 + 11 ) 360 0,0 = 20 551,86 d.h. das Guthaben beträgt 20 551,86 GE. 2. Lösung Tag-genau: 31 + 30 + 31 γ 1 = = 0,2513661 366 γ 2 = 11 365 = 0,03013699 K 2,2815031 = 20 000 1 + γ 1 0,0) 1,0 2 1 + γ 2 0,0) = 20 552,09 Lösung zu Aufgabe 5.2 a) K 15,25 = K 15 = 10 000 1,0 15 = 11 959,35 d.h. das Guthaben beträgt 11 959,35 e. b) K 15,25 = 10 000 1 + 0,0 ) 15,25 = 007,05 d.h. das Guthaben beträgt 007,05 e. c) K 15,25 = 10 000 1 + 0,0 ) 15,25 360 = 008,11 360 d.h. das Guthaben beträgt 008,11 e. d) K 15,25 = 10 000 e 15,25 0,0 = 10 000 e 0,183 = 008,14 d.h. das Guthaben beträgt 008,14 e. e) K 15,25 = 10 000 1,0 15,25 = 11 995,07 d.h. das Guthaben beträgt 11 995,07 e. Lösung zu Aufgabe 5.3 a) Wert der Schulden am 31..2014: 100 000 1,058 2 1 + 2 0,058) = 113 018,45 Wert der Rückzahlungen am 31..2014: 60 000 1,058 1 + 9 0,058) = 66 241,38 1 + 2 0,058) = 1,009667 2
Schulden = Rückzahlungen 113 018,45 = 66 241,38 + 1,009667 + 46 777,07 = 2,009667 = 23 276,03 d.h. die beiden gleich hohen Rückzahlungen betragen jeweils 23 276,03 e. b) Wert der Schulden am 31.03.2013: 100 000 1 + 5 0,058) = 102 416,67 Wert der Rückzahlungen am 31.03.2013: 60 000 1,058 1 + 7 0,058) = 1,093796 = 0,9142475 1,058 1 + 9 0,058) = 1,104023 = 0,9057782 Schulden = Rückzahlungen 102 416,67 = 60 000 + 0,9142475 + 0,9057782 42 416,67 = 1,820026 = 23 305,53 d.h. die beiden gleich hohen Rückzahlungen betragen jeweils 23 305,53 e. c) Wert der Schulden am 31.10.20: 100 000 Wert der Rückzahlungen am 31.10.20: 60 000 = 58 584,21 0,058 1 + 5 1,058 2 = 1,119364 = 0,8933644 1,058 2 1 + 2 0,058) = 1,130185 = 0,8848113 Schulden = Rückzahlungen 100 000 = 58 584,21 + 0,8933644 + 0,8848113 41 415,79 = 1,778176 = 23 291,16 d.h. die beiden gleich hohen Rückzahlungen betragen jeweils 23 291,16 e. Lösung zu Aufgabe 5.4 n = 7 + 2 + 360 = 7 + 72 360 = 7,2 K 7,2 = 2 K 0 = K 0 e 7,2i K 0 2 = e 7,2i ln 3
ln 2 = lne 7,2i ) = 7,2i lne) = 7,2i 7,2 }{{} =1 i = ln 2 7,2 = 0,09627 d.h. der nominelle Jahreszins betrug 9,627%. 4
p = 4% Nominalzinsfuß pro Jahr n = 3 Jahre bzw. 3,5 Jahre Laufzeit K 0 = 100 Übersicht lineare Verzinsung K 2 = 1001 + 3 0,04) = 1 K 3,5 = 1001 + 3,5 0,04) = 114 nachschüssige Verzinsung K 3 = 100 1,04 3 = 1,49 K 3,5 = nicht erklärt bzw. K 3,5 = K 3 konforme Verzinsung K 3 = 100 1,04 3 = 1,49 K 3,5 = 100 1,04 3,5 = 114,71 relativ gemischte Verzinsung K 3 = 100 1,04 3 = 1,49 K 3,5 = 100 1,04 3 1 + 1 0,04) 2 = 114,74 vorschüssige Verzinsung K 3 = 100 0,96 3 = 113,03 K 3,5 = nicht erklärt bzw. K 3,5 = K 3 stetige Verzinsung K 3 = 100 e 3 0,04 = 1,75 K 3,5 = 100 e 3,5 0,04 = 115,03 Verzinsung zum relativen Zins i m täglich: m = 360 monatlich: m = quartalsmäßig: m = 4 halbjährlich: m = 2 K 3 = 100 1 + 0,04 = 1,73 K 3,5 = 100 1 + 0,04 = 115,00 ) 36 ) 42 q effektiv = 1 + 0,04 ) = 1,040742 p effektiv = 4,0742%
Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arrenberg@th-koeln.de Vorlesung QM II Ss 2017 Relativ gemischte Verzinsung Arbeitsblatt Aufgabe 6 Klausur vom 28.01.2008) Ein Schuldner hat bei relativ gemischter Verzinsung mit 6% Jahreszinsen folgende Zahlungsverpflichtungen: 40 000 am 31.03.2008 60 000 am 31..2010 20 000 am 31..2011 Statt diesen Zahlungsverpflichtungen möchte der Schuldner a) seine Schuld mit einer einmaligen Zahlung am 01.01.2008 zurückzahlen. Wie hoch ist der einmalige Rückzahlungsbetrag? Bewertungsstichtag ist der 01.01.2008. b) 20 000 am 01.01.2008 zurückzahlen und nach vier Jahren die verbleibende Restschuld. Wie hoch ist der Rückzahlungsbetrag nach vier Jahren? Bewertungsstichtag ist der 01.01.2008. c) die gesamte Schuld in drei gleich großen Beträgen am 01.01.2009, am 30.06.2010 und am 01.04.2011 zurückzahlen. Wie hoch werden diese Rückzahlungsbeträge sein? Bewertungsstichtag ist der 01.01.2008. 1
Lösung zu Aufgabe 6 40 000 60 000 20 000 a) 1 + 3 + + = 39 408,87 + 50 377,16 + 15 841,87 = 105 627,90 0,06 1,063 1,064 d.h. die Rückzahlung beträgt 105 627,90. b) Schulden = Rückzahlungen 105 627,90 = 20 000 + = 108 103,25 1,064 d.h. die Rückzahlung nach vier Jahren beträgt 108 103,25. c) Schulden = Rückzahlungen 105 627,90 = 1,06 + 1,06 2 1 + 6 1,06 1 + 3 0,06) 105 627,90 = 0,9434 + 0,8641 + 0,8272 105 627,90 = 2,6347 = 40 091,05 d.h. die einheitliche Rückzahlung beträgt jeweils 40 091,05. 2
Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arrenberg@th-koeln.de Vorlesung QM 2 Jährlicher Effektivzins Wurde für eine beliebige Verzinsungsart das Endguthaben K n, das sich nach n Jahren aus einem Startkapital K 0 ergibt, berechnet, so ist der jährliche Effektivzins der Zins, der bei nachschüssiger Verzinsung zu dem gleichen Endguthaben führt. Der Effektiv-Zinsfaktor q berechnet sich wie folgt: q = n Kn K 0 Beispiel Startkapital: GE Laufzeit: vier Jahre nomineller Jahreszins: 1,2% 1. lineare Verzinsung K 4,25 = 1 + 4 0,0) = 1 048 1 048 q = 4 = 1,011790 =1,1790% p.a. Effektivzins=1,1790% p.a. Probe: 1,011790 4 = 1 048,001 2. nachschüssige Verzinsung K 4 = 1,0 4 = 1 048,87 Effektivzins=1,2% p.a. 3. vorschüssige Verzinsung K 4 = 0,988 = 1 049,48 4 1. Lösungsweg: 1 049,48 q = 4 = 1,0147 =1,2147% p.a. Rundungsungenauigkeit 2. Lösungsweg: i = 0,0 0,988 = 0,0146 =1,2146% Effektivzins=1,2146% p.a. Probe: 1,0146 4 = 1 049,48 1
4. monatliche Verzinsung zum relativen Zins K 4 = 1 + 0,0 ) 4 = 1 049,15 1. Lösungsweg: 1 049,15 q = 4 = 1,0067 =1,2067% p.a. Rundungsungenauigkeit 2. Lösungsweg: j = 1 + 0,0 ) 1 = 0,0066 =1,2066% Effektivzins=1,2066% p.a. Probe: 1,0066 4 = 1 049,15 5. konforme Verzinsung K 4 = 1,0 4 = 1 048,87 Effektivzins=1,2% p.a. 6. relativ gemischte Verzinsung K 4 = 1,0 4 = 1 048,87 1 048,87 q = 4 = 1,0000 =1,2000% p.a. Effektivzins=1,2% p.a. Probe: 1,0 4 = 1 048,87 7. stetige Verzinsung K 4 = e 4 0,0 = 1 049,17 1 049,17 q = 4 = 1,0072 =1,2072% p.a. Effektivzins=1,2072% p.a. Probe: 1,0072 4 = 1 049,17 2